Matemágica

Para quem gosta de mágica aqui vai uma sugestão de truque capaz de surpreender a plateia. Este truque tem como base ideias matemáticas baseadas em probabilidade, porém o mágico tem de assumir algum risco quando faz estes turque. Mas isso também torna o truque mais excitantes. 

Imagine o você que tem um público de umas dezenas de pessoas. Comece por recordar com elas que os números das portas de suas casas têm um primeiro dígito significativo e que esse dígito é 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. Lembre que um número de porta não pode começar por zero.

Em seguida,  confirme que as pessoas moram em ruas diferentes e que não escolheram o número da sua porta, logo tem-se que o primeiro dígito significativo de cada número é aleatório. Sendo assim, e havendo muitas pessoas , é natural se pensar que possa a haver tantos números de porta começando com o número 1, quanto com o número  2, como por qualquer outro dos 9 dígitos possíveis. Mas se você pensar um pouco conseguirá descobrir que não é assim e que há mais pessoas com número de porta começando por 1, 2, 3 ou 4 do que começando por 5, 6, 7, 8 ou 9. No primeiro caso temos quatro hipóteses e no segundo cinco, pelo que deveria ser o contrário, pensará o público.

Peça agora para as pessoas no primeiro caso levantarem os braços. Peça depois para as pessoas no segundo grupo fazerem o mesmo.

Habitualmente, não vale a pena contar os braços. A aposta vence-se com grande margem. Se não quiser arriscar, não aposte. Mas se estiver bem-disposto, aposte que há mais pessoas com número de porta começando por 1, 2 ou 3 do que começando por qualquer um dos restantes seis dígitos. Nesta segunda aposta parece que tem dois terços de probabilidade de perder, mas, na realidade, é mais provável que volte a ganhar do que perder.

As magias matemáticas não têm piada quando não se explicam. O que acontece é que, para qualquer dos nove dígitos ter a mesma probabilidade de ocorrência, cada rua teria de ter exatamente 9 portas, ou 99, ou 999...

É fácil: se uma rua tiver portas numeradas de 1 a 9, qualquer algarismo tem 1/9 de probabilidade de aparecer. O mesmo se passa se a rua tiver 99 portas, e assim por diante. Mas as ruas não costumam ter essa dimensão exata.

Imagine uma rua com 33 portas. O dígito 1 aparece como primeiro algarismo significativo 11 vezes, pois aparece nas portas 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 e 19. O dígito 2 aparece também 11 vezes a liderar o número das portas. O 3 já só aparece cinco, enquanto o 4 e todos os restantes aparecem apenas uma vez. Pegue em papel e lápis, que são os instrumentos preferidos dos matemáticos, e verifique.

O que se passa com os números das portas da rua passa-se com muitos outros, desde as cotações das ações e dos índices de inflação até constantes físicas e matemáticas. Quem o descobriu foi o astrónomo norte-americano Simon Newcomb, em 1881, mas quem o estudou de forma sistemática foi um seu conterrâneo, o físico Frank Benford, em 1938. Por isso, a lei de distribuição dos primeiros dígitos significativos chama-se hoje Lei de Benford