O Exercício que ninguém resolveu...

Passando para deixar, como prometido o exercício 5 do trabalho do 2 ano B, para fazer o download é só clicar no link que eu deixei. Caso tenham perguntas sobre a demonstração que eu deixei é só perguntar, no que se refere ao texto escrito acho que não tem nenhum problema, sobre as ilustrações aconselharia aos interessados que acrescentassem 1 desenho para cada uma das 3 etapas que descrevi na demonstração, uma vez que elas facilitam o entendimento do que está escrito. Divirtam-se!

Charge do Dia

Nunca foi segredo para os alunos que eu gosto de tirinhas, ainda mais aquelas do Bill Watterson autor de Calvin and Hobbes, vendo algumas coisas minha resolvi postar algumas das tirinhas que vejo sobre escola, matemática e outras coisas começo essa seção com uma que me lembrou o trabalho de muitos alunos...

Explicando nossas origens...

Muitos alunos já me perguntaram sobre o porque do nome do blog e sempre respondo que ele surgiu de uma brincadeira de alguns alunos que chamavam aos colegas que gostavam de exatas de ovelhas. Esta história sempre foi interessante e um tanto curiosa, sobretudo, porque nasceu da saudação Vulcana, algo muito nerd e relacionado com alunos que gostam de exatas já que a maioria acaba sendo rotulada assim...


Contudo, essa é apenas uma das razões... quando fala-se sobre a idéia de número não existe um autor para este conceito, mas o que sabe-se é que esta noção surgiu de situações vividas pelo homem. A História nos mostra que o homem inventou várias maneiras para realizar contagens e representá-las, e todas elas associadas ás necessidades de sua época. De forma geral o número sempre surge de uma associação básica que relaciona um objeto a outro, sendo uma das versões mais famosas a que fala sobre um pastor que quer contar seu rebanho de ovelhas.

O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi contar as ovelhas com pedras. Assim: 
Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma pedra. O pastor colocava todas as pedras num saquinho. No fim do dia, à medida que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. 


Logo a matemática, assim como os números, sempre me lembra de ovelhas sendo essa uma das razões principais para o nome do blog ser homens e ovelhas. Isso é tudo!

Há mais ciência do que se parece em The Big Bang Theory

Quem é fã da série THE BIG BANG THEORY ao assistir o episódio 18 da 3ª temporada pode nem ter notado que havia um quadro branco em um dos cantos com  um pouco de geometria não euclidiana. Por que ela estava lá? E o que ela é?

O quadro branco do episódio referido

Primeiro, lembremos que o próprio Euclides desenvolveu sua geometria não-não-euclidiana em 300 A.C.. Ele começou com a suposição do mínimo possível e deixou para gerações de alunos do Ensino Fundamental a tarefa de provar todo o resto, que os triângulos têm 180 graus, e daí por diante. Como é típico na matemática, o jogo envolve usar a menor quantidade possível das mais elegantes postulações e deixar o resto às brilhantes derivações.

Todo aluno do Ensino Fundamental aprende os cinco axiomas de Euclides (brevemente listados, com a omissão de algumas legalidades):

1. Quaisquer dois pontos podem ser ligados por um segmento de reta.

2. Um segmento de reta pode ser estendido à uma reta infinita.

3. Para qualquer segmento de reta, um círculo pode ser desenhado.

4. Todos os ângulos retos são iguais.

Esses quatro parecem ser bem básicos. É difícil imaginar que qualquer um deles possa ser comprovado ou refutado e, por esse motivo, eles servem como pontos de partida óbvios. Mas Euclides adicionou um enfadonho “quinto axioma”:

5. Para um ponto fora de uma reta, há exatamente uma reta que passe pelo ponto que nunca fará intereseção com a reta original.

Euclides era um cara esperto. Por que simplesmente não provou o “quinto axioma” com os quatro primeiros? Ele tentou. Durante 2.000 anos os matemáticos tentaram. Até mesmo Karl Friedrich Gauss. Sem chance. Não foi provado. Os matemáticos modernos sabem que nunca poderia ser provado com os quatro primeiros.

Então os matemáticos fizeram limões da limonada. Em 1826, Nicolai Lobachevsky disse: “Vamos presumir que não há apenas uma, e sim várias linhas paralelas como essa.”. Na década de 50 do século XIX, Bernhard Riemann disse: “Vamos presumir que não há linha alguma.”. O caos reinou. Sem o quinto axioma, nem mesmo podemos provar que todo triângulo tem 180 graus. Eis uma loucura maior ainda: adotar a versão do quinto axioma de Lobachevsky faz com que os triângulos tenham menos de 180 graus. A versão de Riemann faz com que tenham mais de 180. Mas que triângulos estranhos!

1. Geometria Euclidiana: existe uma reta paralela;   2. Geometria  de Rieman: não existe retas paralelas;         3.Geometria de Lobachevsky: existem várias retas paralelas)

(Foi descoberto que tudo havia sido resolvido décadas antes por Gauss, e que ele havia deixado a resolução em sua mesa, sem nunca publicá-la. Um recado para os aspirantes a matemáticos: qualquer que seja o projeto no qual estão trabalhando, há uma boa chance de Gauss já tê-lo tentado antes.)

Algumas décadas mais tarde, na virada do século XX, Albert Einstein e alguns outros perceberam que há mais do que simples abstração no quinto axioma, e ela estava relacionada a uma real incerteza que temos a respeito do nosso próprio Universo. A incapacidade de provar o quinto axioma de Euclides é equivalente a não saber se vivemos em um espaço curvo ou plano. Não sabemos ao certo se triângulos extremamente grandes no nosso Universo têm exatamente 180 graus, ou então um pouco a mais ou a menos. Como é que um triângulo pode ter mais de 180 graus? Façamos uma viagem:

É possível, ao andar pelo globo, fazer um triângulo com 3 ângulos retos. Este triângulo tem 270 graus, e não 180.

Observe que uma esfera é dita um espaço não euclidiano, entretanto localmente as leis da geometria euclidiana são boas aproximações. Em um pequeno triângulo na face da Terra a soma dos internos é aproximadamente 180graus.

Vamos andar (e andar de trenó e nadar também) desde o Polo Norte, através do meridiano de Greenwich (longitude de 0 graus), passando pela Inglaterra até chegarmos à Linha do Equador. Vire à direita. É um ângulo de 90 graus. Caminhe até chegar à ilha de São Salvador, ao leste do país Equador, localizada na Linha do Equador no 90º meridiano (+90 graus). Agora vire novamente à direita (são outros 90 graus) e volte para o norte, passando por St. Louis, até o Polo Norte. Até agora, viramos duas vezes à direita, 90+90=180 graus. Mas aí chegamos ao Polo Norte novamente, atravessando o Canadá. Quando chegamos, descobrimos que completamos um triângulo. Viramos três vezes. Mas você está chegando em um ângulo reto em relação ao ponto de partida. O último ângulo tem 90 graus. Então fizemos um triângulo com ângulos de 90+90+90= 270, e não 180. Assim é a vida em um espaço curvado. Mesmo que você não enxergue a curvatura enquanto caminha, ela está presente.

Você pode fazer o mesmo em um espaço de Lobachevsky. Imagine andar por aí em cima de uma batata Pringles.

A geometria não euclidiana é elemento chave nas batatas Pringles

De cima para baixo: plano esférico, plano hiperbólico e plano euclidiano.

É frequente que um pedaço da abstração matemática possa ser observado diretamente no nosso mundo físico. Nesse caso, nós apenas demoramos 2.000 anos para perceber isso.

Em uma fascinante sequência de 1965 ao livro Flatland (Planolândia), Dionys Burger relata em Sphereland a vida do neto de Um Quadrado, chamado de Um Hexágono . Um pesquisador na Planolândia fica consternado ao descobrir que a soma dos ângulos dos triângulos não resulta em 180 graus. Um Hexágono, descendente do sagaz herói da Planolândia, desperta seu amigo pesquisador para o fato de que os planolandeses, na verdade, habitam um espaço curvo. Como aconteceu na nossa viagem, a soma dos ângulos dos triângulos não resulta em 180 graus. (falarei melhor sobre esses livros depois, eles já apareceram em outro episódio da série The Big Bang Theory)

Até mesmo o nosso próprio espaço não-fictício e tridimensional pode ser curvo. Nós apenas não sabemos disso. Os astrofísicos medem os maiores triângulos que encontram e procuram pequenos desvios. Eles usam os raios da luz mais antiga no universo, as microondas de apenas 380.000 anos após o Big Bang. Até agora, todos os triângulos somaram 180 graus;no entanto, com um nível maior de precisão, talvez possamos descobrir, a qualquer momento, que vivemos em um espaço curvo. E isso não é problema. Só o que aconteceria é que todos os livros de geometria do Ensino Fundamental teriam de revisar o quinto axioma de Euclides. (É uma boa notícia para as editoras de livros escolares, que sempre querem colocar uma nova edição à venda. Mesmo que não haja nada de novo, percebi que, até mesmo nas minhas turmas, as editoras apenas mudam os números das questões de 3 em 3 anos e chamam isso de uma nova edição.)

É divertido, mas o que isso tem a ver com a série? Por que colocamos isso no quadro branco? Na verdade, é uma referência direta a uma fala que Sheldon tinha no roteiro. Tinha. Era uma versão provisória do roteiro.

Os roteiros passam por muitas revisões ao longo da semana de produção. Todos os dias os atores ensaiam e os escritores aprimoram o roteiro. A comédia parece funcionar da mesma maneira que a ciência experimental. Às vezes os roteiristas acham algo melhor. E nessa semana, após eu já ter enviado aos cenógrafos as equações e os diagramas, os roteiristas reescreveram as falas de Sheldon que tratavam do seu recolhimento ao espaço Riemanniano para relaxar.

Então os telespectadores nunca viram esse pedacinho da ciência. Os roteiristas o substituíram com algo ainda mais engraçado: o espaço Riemannian foi substituído pelo lugar preferido de Sheldon em Sim City. Mas talvez ainda haja alguma relação. Afinal de contas, quem é que já mediu os triângulos de Sheldonópolis?

Fonte : The Big Blog Theory

A conjectura de Goldbach

Uma conjectura matemática é uma proposição (ideia) que muitos matemáticos acham que deve ser verdadeira, porém, ainda não conseguiram prová-la. Você se lembra do que é um número primo? Um número maior que 1 que só é divisível por 1 e por ele mesmo. São primos o 3, o 5, o 7. O 6 não é primo, pois é divisível por 3 e por 2. 

A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número par maior que 3 é igual a soma de dois números primos. Por exemplo, 6 é igual a 3 + 3, 8 é igual a 3 + 5, 20 é igual a 7 + 13. Você pode ir verificando essa conjectura para cada um dos números pares, um a um. Os matemáticos já verificaram para milhares deles. Mas para que a conjectura vire um teorema é preciso que alguém encontre uma prova que assegure que qualquer um dos infinitos números pares pode ser escrito como soma de dois primos. A proposição é muito simples, mas, até hoje, ninguém conseguiu demonstrá-la.

Por sinal o enunciado referente a conjectura de Goldbach é muito antigo. Em um epitáfio do Primeiro Cemitério de Atenas já encontra-se está gravada a seguinte mensagem póstuma:

"Qualquer número par maior do que 2 é a soma de dois números primos"

Carta de Goldbach para Euler

Contundo, admiti-se, modernamente, que a Conjectura de Goldbach foi enunciada pela primeira vez, em uma carta que Christian Goldbach enviou ao famoso matemático suíço Leonard Eüler no dia 7 de Julho de 1742, na qual ele observava que "qualquer número inteiro maior do que seis parecia ser a soma de três números primos".  

Foi Eüler que constatou que a afirmação feita por Goldbach se verdadeira, poderia ser decomposta em duas, como se admite atualmente: todo o número par, maior que dois, é a soma de dois primos; todo o número ímpar é a soma de três primos (Ironicamente, não foi Goldbach mas Eüler quem expressou a conjectura que tem o nome do primeiro). 

Destas duas afirmações, a segunda já foi provada para os ímpares suficientemente grandes por Vinogradov em meados dos anos 30, mas a primeira ainda não sendo justamente essa a que ficou conhecida hoje por conjectura de Goldbach, como já foi mencionado.É importante observar que quando Vinogradov usa o termo “suficientemente grande” ele quer dizer que todo número ímpar maior que certo número (o qual ele não define) tem a propriedade em questão. Isso significa que não sabemos a partir de que número a conclusão de Vinogradov vale, mas mesmo assim o resultado é muito importante, pois nos assegura que esta propriedade só não é válida para uma quantidade finita de números ímpares. 

Esta conjectura é hoje considerada como um monstro da Teoria dos Números com mais de 200 anos na galeria dos resultados por demonstrar, tendo já inspirado muitos matemáticos. Para quem se interessar sobre o assunto um livro leve e interessante sobre o assunto é O Tio Petros e a Conjectura de Goldbach de Apostolos Doxiadis. 

A capa do livro na edição brasileira 

O livro é escrito como um romance e tem como objetivo permitir perceber o que é preciso para se fazer matemática, todo o prazer que está envolvido nos momentos de contemplação mas também todas as dificuldades, e inclusivamente perigos, que recheiam o caminho daqueles que se aventuram na criação matemática, e claro fala um pouco sobre a Conjectura de Goldbach.

Na internet também é possível se divertir como jogo da conjectura de Goldbach.

Estou deixando também uma versão do livro para download, porém está em espanhol...

O truque dos aniversários no mesmo dia

Continuando a brincar de mágico encontrei outro truque também envolve probabilidade. Se não tiver pelo menos 50 pessoas na sala, este truque é um pouco arriscado. Mas qualquer coisa pode-se tentar um outro que resulta com elevada probabilidade desde que tenha umas 30 pessoas.

Diga que acaba de adivinhar que há duas pessoas na sala que fazem aniversário no mesmo dia mas que não querem confirmar isso. Peça então a cada pessoa da platéia que escreva o dia e mês do seu nascimento num papel e peça a uma outra para recolher e verificar as datas. Verá que, com elevada probabilidade, há duas pessoas que comemoram aniversário no mesmo dia.

Mais uma vez é surpreendente, mas as contas são fáceis de fazer. Esqueça os anos bissextos e faça os cálculos com 356 dias. Depois, se o quiser, complique as contas introduzindo o 29 de Fevereiro.

Qual a probabilidade de duas pessoas apanhadas ao acaso terem nascido em dias diferentes? É 364/365, claro. Fixa-se uma das pessoas e o seu dia de aniversário e calcula-se a probabilidade de a segunda pessoa fazer anos em qualquer dos restantes 364 dias do ano.

E qual será a probabilidade de três pessoas fazerem anos em dias diferentes? Será a probabilidade anterior vezes a probabilidade de a terceira pessoa fazer anos num dos restantes 363 dias do ano, que é 363/365. Se fizer as contas verá que, ao chegarmos à 23ª pessoa, o produto das probabilidades já é menor que 1/2.

Ou seja, com 23 pessoas na sala é mais provável que haja pelo menos duas que façam anos no mesmo dia do que todas o façam em dias diferentes. Com 30, que era o nosso pressuposto inicial, a probabilidade de ganhar a aposta é já 71%, e bastam 57 para chegar a 99%.

Matemágica

Para quem gosta de mágica aqui vai uma sugestão de truque capaz de surpreender a plateia. Este truque tem como base ideias matemáticas baseadas em probabilidade, porém o mágico tem de assumir algum risco quando faz estes turque. Mas isso também torna o truque mais excitantes. 

Imagine o você que tem um público de umas dezenas de pessoas. Comece por recordar com elas que os números das portas de suas casas têm um primeiro dígito significativo e que esse dígito é 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. Lembre que um número de porta não pode começar por zero.

Em seguida,  confirme que as pessoas moram em ruas diferentes e que não escolheram o número da sua porta, logo tem-se que o primeiro dígito significativo de cada número é aleatório. Sendo assim, e havendo muitas pessoas , é natural se pensar que possa a haver tantos números de porta começando com o número 1, quanto com o número  2, como por qualquer outro dos 9 dígitos possíveis. Mas se você pensar um pouco conseguirá descobrir que não é assim e que há mais pessoas com número de porta começando por 1, 2, 3 ou 4 do que começando por 5, 6, 7, 8 ou 9. No primeiro caso temos quatro hipóteses e no segundo cinco, pelo que deveria ser o contrário, pensará o público.

Peça agora para as pessoas no primeiro caso levantarem os braços. Peça depois para as pessoas no segundo grupo fazerem o mesmo.

Habitualmente, não vale a pena contar os braços. A aposta vence-se com grande margem. Se não quiser arriscar, não aposte. Mas se estiver bem-disposto, aposte que há mais pessoas com número de porta começando por 1, 2 ou 3 do que começando por qualquer um dos restantes seis dígitos. Nesta segunda aposta parece que tem dois terços de probabilidade de perder, mas, na realidade, é mais provável que volte a ganhar do que perder.

As magias matemáticas não têm piada quando não se explicam. O que acontece é que, para qualquer dos nove dígitos ter a mesma probabilidade de ocorrência, cada rua teria de ter exatamente 9 portas, ou 99, ou 999...

É fácil: se uma rua tiver portas numeradas de 1 a 9, qualquer algarismo tem 1/9 de probabilidade de aparecer. O mesmo se passa se a rua tiver 99 portas, e assim por diante. Mas as ruas não costumam ter essa dimensão exata.

Imagine uma rua com 33 portas. O dígito 1 aparece como primeiro algarismo significativo 11 vezes, pois aparece nas portas 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 e 19. O dígito 2 aparece também 11 vezes a liderar o número das portas. O 3 já só aparece cinco, enquanto o 4 e todos os restantes aparecem apenas uma vez. Pegue em papel e lápis, que são os instrumentos preferidos dos matemáticos, e verifique.

O que se passa com os números das portas da rua passa-se com muitos outros, desde as cotações das ações e dos índices de inflação até constantes físicas e matemáticas. Quem o descobriu foi o astrónomo norte-americano Simon Newcomb, em 1881, mas quem o estudou de forma sistemática foi um seu conterrâneo, o físico Frank Benford, em 1938. Por isso, a lei de distribuição dos primeiros dígitos significativos chama-se hoje Lei de Benford