Sólidos

Senhores e/ou senhoras,


Não posto a algum tempo... pensando no quarto bimestre já separei alguns trabalhos que devem se realizados que se referem a parte de sólidos geométricos da apostila, desta forma já os deixo listados a seguir, divirtam-se:

• Construção de um tronco de pirâmide de base quadrada e de um tronco de cone;

• Construção do quebra-cabeça das pirâmides (necessário imprimir 4 peças iguais, cujo o download pode ser feito aqui);

• Construção dos seguinte sólidos platônicos em papel: dodecaedro, icosaedro e octaedro; (estas planificações são fáceis de encontrar na internet)

• Construção utilizando canudos dos seguintes sólidos platônicos: cubo (com diagonais), octaedro, icosaedro; (instruções)

• Construção do quebra-cabeça do polígono de escher (necessário 6 peças iguais, download aqui);

• Construção de uma pipa tetraedrica;

           Aconselho a leitura dos seguintes itens para esta atividade: histórico, tutorial

Há mais ciência do que se parece em The Big Bang Theory

Quem é fã da série THE BIG BANG THEORY ao assistir o episódio 18 da 3ª temporada pode nem ter notado que havia um quadro branco em um dos cantos com  um pouco de geometria não euclidiana. Por que ela estava lá? E o que ela é?

O quadro branco do episódio referido

Primeiro, lembremos que o próprio Euclides desenvolveu sua geometria não-não-euclidiana em 300 A.C.. Ele começou com a suposição do mínimo possível e deixou para gerações de alunos do Ensino Fundamental a tarefa de provar todo o resto, que os triângulos têm 180 graus, e daí por diante. Como é típico na matemática, o jogo envolve usar a menor quantidade possível das mais elegantes postulações e deixar o resto às brilhantes derivações.

Todo aluno do Ensino Fundamental aprende os cinco axiomas de Euclides (brevemente listados, com a omissão de algumas legalidades):

1. Quaisquer dois pontos podem ser ligados por um segmento de reta.

2. Um segmento de reta pode ser estendido à uma reta infinita.

3. Para qualquer segmento de reta, um círculo pode ser desenhado.

4. Todos os ângulos retos são iguais.

Esses quatro parecem ser bem básicos. É difícil imaginar que qualquer um deles possa ser comprovado ou refutado e, por esse motivo, eles servem como pontos de partida óbvios. Mas Euclides adicionou um enfadonho “quinto axioma”:

5. Para um ponto fora de uma reta, há exatamente uma reta que passe pelo ponto que nunca fará intereseção com a reta original.

Euclides era um cara esperto. Por que simplesmente não provou o “quinto axioma” com os quatro primeiros? Ele tentou. Durante 2.000 anos os matemáticos tentaram. Até mesmo Karl Friedrich Gauss. Sem chance. Não foi provado. Os matemáticos modernos sabem que nunca poderia ser provado com os quatro primeiros.

Então os matemáticos fizeram limões da limonada. Em 1826, Nicolai Lobachevsky disse: “Vamos presumir que não há apenas uma, e sim várias linhas paralelas como essa.”. Na década de 50 do século XIX, Bernhard Riemann disse: “Vamos presumir que não há linha alguma.”. O caos reinou. Sem o quinto axioma, nem mesmo podemos provar que todo triângulo tem 180 graus. Eis uma loucura maior ainda: adotar a versão do quinto axioma de Lobachevsky faz com que os triângulos tenham menos de 180 graus. A versão de Riemann faz com que tenham mais de 180. Mas que triângulos estranhos!

1. Geometria Euclidiana: existe uma reta paralela;   2. Geometria  de Rieman: não existe retas paralelas;         3.Geometria de Lobachevsky: existem várias retas paralelas)

(Foi descoberto que tudo havia sido resolvido décadas antes por Gauss, e que ele havia deixado a resolução em sua mesa, sem nunca publicá-la. Um recado para os aspirantes a matemáticos: qualquer que seja o projeto no qual estão trabalhando, há uma boa chance de Gauss já tê-lo tentado antes.)

Algumas décadas mais tarde, na virada do século XX, Albert Einstein e alguns outros perceberam que há mais do que simples abstração no quinto axioma, e ela estava relacionada a uma real incerteza que temos a respeito do nosso próprio Universo. A incapacidade de provar o quinto axioma de Euclides é equivalente a não saber se vivemos em um espaço curvo ou plano. Não sabemos ao certo se triângulos extremamente grandes no nosso Universo têm exatamente 180 graus, ou então um pouco a mais ou a menos. Como é que um triângulo pode ter mais de 180 graus? Façamos uma viagem:

É possível, ao andar pelo globo, fazer um triângulo com 3 ângulos retos. Este triângulo tem 270 graus, e não 180.

Observe que uma esfera é dita um espaço não euclidiano, entretanto localmente as leis da geometria euclidiana são boas aproximações. Em um pequeno triângulo na face da Terra a soma dos internos é aproximadamente 180graus.

Vamos andar (e andar de trenó e nadar também) desde o Polo Norte, através do meridiano de Greenwich (longitude de 0 graus), passando pela Inglaterra até chegarmos à Linha do Equador. Vire à direita. É um ângulo de 90 graus. Caminhe até chegar à ilha de São Salvador, ao leste do país Equador, localizada na Linha do Equador no 90º meridiano (+90 graus). Agora vire novamente à direita (são outros 90 graus) e volte para o norte, passando por St. Louis, até o Polo Norte. Até agora, viramos duas vezes à direita, 90+90=180 graus. Mas aí chegamos ao Polo Norte novamente, atravessando o Canadá. Quando chegamos, descobrimos que completamos um triângulo. Viramos três vezes. Mas você está chegando em um ângulo reto em relação ao ponto de partida. O último ângulo tem 90 graus. Então fizemos um triângulo com ângulos de 90+90+90= 270, e não 180. Assim é a vida em um espaço curvado. Mesmo que você não enxergue a curvatura enquanto caminha, ela está presente.

Você pode fazer o mesmo em um espaço de Lobachevsky. Imagine andar por aí em cima de uma batata Pringles.

A geometria não euclidiana é elemento chave nas batatas Pringles

De cima para baixo: plano esférico, plano hiperbólico e plano euclidiano.

É frequente que um pedaço da abstração matemática possa ser observado diretamente no nosso mundo físico. Nesse caso, nós apenas demoramos 2.000 anos para perceber isso.

Em uma fascinante sequência de 1965 ao livro Flatland (Planolândia), Dionys Burger relata em Sphereland a vida do neto de Um Quadrado, chamado de Um Hexágono . Um pesquisador na Planolândia fica consternado ao descobrir que a soma dos ângulos dos triângulos não resulta em 180 graus. Um Hexágono, descendente do sagaz herói da Planolândia, desperta seu amigo pesquisador para o fato de que os planolandeses, na verdade, habitam um espaço curvo. Como aconteceu na nossa viagem, a soma dos ângulos dos triângulos não resulta em 180 graus. (falarei melhor sobre esses livros depois, eles já apareceram em outro episódio da série The Big Bang Theory)

Até mesmo o nosso próprio espaço não-fictício e tridimensional pode ser curvo. Nós apenas não sabemos disso. Os astrofísicos medem os maiores triângulos que encontram e procuram pequenos desvios. Eles usam os raios da luz mais antiga no universo, as microondas de apenas 380.000 anos após o Big Bang. Até agora, todos os triângulos somaram 180 graus;no entanto, com um nível maior de precisão, talvez possamos descobrir, a qualquer momento, que vivemos em um espaço curvo. E isso não é problema. Só o que aconteceria é que todos os livros de geometria do Ensino Fundamental teriam de revisar o quinto axioma de Euclides. (É uma boa notícia para as editoras de livros escolares, que sempre querem colocar uma nova edição à venda. Mesmo que não haja nada de novo, percebi que, até mesmo nas minhas turmas, as editoras apenas mudam os números das questões de 3 em 3 anos e chamam isso de uma nova edição.)

É divertido, mas o que isso tem a ver com a série? Por que colocamos isso no quadro branco? Na verdade, é uma referência direta a uma fala que Sheldon tinha no roteiro. Tinha. Era uma versão provisória do roteiro.

Os roteiros passam por muitas revisões ao longo da semana de produção. Todos os dias os atores ensaiam e os escritores aprimoram o roteiro. A comédia parece funcionar da mesma maneira que a ciência experimental. Às vezes os roteiristas acham algo melhor. E nessa semana, após eu já ter enviado aos cenógrafos as equações e os diagramas, os roteiristas reescreveram as falas de Sheldon que tratavam do seu recolhimento ao espaço Riemanniano para relaxar.

Então os telespectadores nunca viram esse pedacinho da ciência. Os roteiristas o substituíram com algo ainda mais engraçado: o espaço Riemannian foi substituído pelo lugar preferido de Sheldon em Sim City. Mas talvez ainda haja alguma relação. Afinal de contas, quem é que já mediu os triângulos de Sheldonópolis?

Fonte : The Big Blog Theory

O Mundo Mágico de Escher

Escher: Mão com Esfera refletora, 1935

Maurits Cornelis  Escher (1898-1972) foi um artista holandês, autor de várias obras de estilo bem peculiar, representou o impossível, o infinito e metamorfoses através de efeitos de ilusão de ótica, sem burlar as regras geométricas do desenho e da pespectiva. Suas obras são na maioria xilogravuras, litografias e meios-tons. Foram estas técnicas que permitiram que suas obras atingissem uma estética impecável. Ele também foi um dos artistas que melhor utilizou conceitos avançados de matemática e geometria para embasar suas obras. Ele mesmo uma vez declarou sua proximidade com a matemática:

“Embora não tenha qualquer formação e conhecimento das ciências exatas, sinto-me frequentemente mais ligado aos matemáticos do que aos meus próprios colegas de profissão.”

Entre os trabalhos deste artista pode-se destacar seus impressionantes mosaic, os quais nacsceram de uma vistita sua à Alhama, na Espanha, aonde o artista conheceu e se encantou pelos mosaicos que havia nas mesquitas do lugar. Escher achou muito interessante as formas como cada figura se entrelaçava a outra e se repetia, formando belos padrões geométricos. Este foi o ponto de partida para seus trabalhos mais impressionantes e famosos, que consistiam no preenchimento regular do plano.

A arte de se criar mosaicos é muito anterior a Escher: mosaico ou arte musiva, é uma palavra de origem alemã, embora descreva uma técnica que é antiquíssima. Egípcios, persas, bizantinos, árabes, mouros, hindus e chineses já usavam esta técnica de decoração em pisos, tetos, painéis, templos e palácios.

Está técnica consiste na colocação de pequenos fragmentos de pedras, como mármore e granito moldados sobre qualquer superfício, formando determinado desenho de maneira a é preencher algum tipo de plano, como pisos e paredes.

Em matemática quando fala-se em mosaicos, ao invés de pensarmos em fragmentos de pedras que devem ser unidos para preencher o plano, substitui-se estes fragmentos por polígonos. Desta forma, um conjunto de polígonos é uma pavimentação do plano se, e somente se, o conjunto de polígonos cobre sem cruzamentos o plano (ou seja, um polígono não sobrepõem o outro, como na figura abaixo). 

Você pode conferir mais mosaicos de Escher aqui

Os Elementos de Euclides

O tratado matemático Os Elementos, escrito por Euclides (retratado na imagem ao lado pelo artista Rafael em sua obra Escola de Atenas) por volta do ano 300 a.C., é considerado um dos livros mais importantes do mundo ocidental. “Se quiserdes conhecer o que é a matemática, basta olhardes Os Elementos de Euclides”, disse o filósofo alemão Immanuel Kant.

Euclides, distinguiu-se no séc. III a.C, como prestigiado “professor” de matemática na Escola de Alexandria, então o maior centro de cultura helenística, local onde escreveu Os Elementos, sua obra mais famosa.

Antes da época de Euclides várias civilizações já possuíam conhecimentos aritméticos e geométricos, os quais surgiam das necessidades de aplicação na Agricultura, Astrologia, Astronomia, Arquitetura... Euclides estudou e refletiu sobre todos esses saberes dispersos dos egípcios e babilônios, chineses e gregos. Com espantosa perspicácia e habilidade didática, elaborou o tratado Os Elementos onde faz a primeira apresentação sistemática, encadeada e lógica das propriedades novas, ou já conhecidas, da geometria métrica elementar (com exceção das cónicas), as quais demonstra partindo de um reduzido número de proposições iniciais que aceita sob o nome de axiomas e de postulados.

Juntamente com a Bíblia Os Elementos constitui os maiores “best-sellers” de todos os tempos. Mil anos mais tarde, quando muitas obras gregas se tinham perdido ou sido destruídas no grande incêndio da Biblioteca de Alexandria, cópias manuscritas dos Elementos, traduzidas em árabe, eram estudadas nas Universidades. A sua impecável estrutura lógica conferiu-lhe uma vitalidade surpreendente que, através dos séculos, o conservou como livro básico de estudo. Ainda hoje a geometria que se ensina nas escolas de quase todo o mundo é inspirada nos textos de Euclides e, por esse motivo é conhecida também como Geometria Euclidiana.

Os Elementos oferecem 465 proposições, além de definições, postulados e axiomas distribuídos em 13 livros, sistematizando e dando sequência lógica para o conhecimento da matemática grega.

Os seis primeiros livros dão conta da geometria plana; os três seguintes, da teoria dos números; o décimo livro, o mais complexo, estuda uma classificação de incomensuráveis/irracionais; e os três últimos abordam a geometria no espaço.

Em 2009 foi lançada, pela editora da UNESP, a primeira versão moderna de Os Elementos em português traduzida diretamente do grego você pode conferir trechos deste texto aqui.